境界値問題の定義
標準的な2次境界値問題は、区間 $[a, b]$ 上で定義された微分方程式を含み、システムの状態が両端で固定されています。これは数学的に次のように表現されます：
$y^{\prime \prime}=f(x, y, y^{\prime}), \quad \text{ ただし } a \leq x \leq b$
そして ディリクレ境界条件：
$y(a)=\alpha \quad \text{ および } \quad y(b)=\beta$
IVPとは異なり、初期値問題では単一の点 $a$ での $y(a)$ と $y'(a)$ を必要としますが、境界値問題では $a$ と $b$ での $y$ の値を指定します。もはや「初期の傾き」$y'(a)$ は不明であり、内部全域で支配的な方程式を満たすように『点と点をつなぐ』軌道を見つける必要があります。
存在性と一意性（定理11.1）
ピカール–リンドェルフの定理は、初期値問題に局所的な一意性を提供しますが、境界値問題はグローバルな挙動によって支配されます。簡単な線形常微分方程式であっても、領域の長さ $(b-a)$ によって解がない、唯一の解がある、無限に多くの解がある場合があります。次の条件が満たされれば、一意な解が保証されます：
- $f$, $f_y$, および $f_{y'}$ が定義域上で連続であること。
- $f_y > 0$（これは『復元力』のように働き、解が無限遠に飛んでいくことを防ぎます）。
- $|f_{y'}|$ が定数 $M$ で有界であること。
現実世界への応用：構造物のたわみ
長さ $l$ の構造梁が均一な荷重 $q$ と水平方向の引張力 $S$ にさらされていると仮定します。たわみ $w(x)$ は次式で記述されます：
$\frac{d^2 w}{d x^2}(x)=\frac{S}{E I} w(x)+\frac{q x}{2 E I}(x-l)$
境界条件として $w(0)=0$ かつ $w(l)=0$ を設定します。ここでは梁の両端が固定されており、応力下での梁の物理的形状を表す曲線 $w(x)$ を求める必要があります。